Series, Sucesiones e Integrales Múltiples

Tarea Evaluativa Eje 4

Presentado por: Andrés Mauricio Corzo Cabarcas, Orlando Zúñiga Ayala, Yoman Enrique Salcedo Rojas

Cálculo Integral

Mgtr: Miguel Ángel Granados Peñaranda

Este documento presenta una compilación de conceptos y problemas resueltos sobre series matemáticas e integrales múltiples, con el objetivo de fortalecer la comprensión de su naturaleza y aplicación en contextos de geometría y física.

Introducción

El cálculo, en sus múltiples facetas, proporciona un lenguaje universal para describir el cambio y la acumulación. Dos pilares fundamentales de este lenguaje son el estudio de las series infinitas y el cálculo de integrales múltiples.

Las series y sucesiones nos permiten modelar fenómenos que involucran sumas infinitas, desde la aproximación de funciones complejas hasta la comprensión de procesos discretos que convergen a un límite. Por otro lado, las integrales dobles y triples son herramientas esenciales para manejar problemas en múltiples dimensiones. Nos permiten "sumar" cantidades infinitesimales sobre áreas y volúmenes, abriendo la puerta al cálculo de volúmenes de sólidos complejos, la determinación de centros de masa, el cálculo de momentos de inercia y la modelización de flujos y campos en la física.

Este taller se enfoca en la primera y más crucial etapa de la resolución de problemas: el reconocimiento y planteamiento. A través de ejemplos concretos, se busca desarrollar la habilidad para identificar qué tipo de serie o integral es la adecuada para cada problema y cómo plantearla correctamente en diversos sistemas de coordenadas.

Objetivos

Objetivo General

Desarrollar la competencia para reconocer y plantear soluciones a problemas de geometría y física mediante el uso de series matemáticas e integrales múltiples en distintos sistemas de coordenadas.

Objetivos Específicos

Distinguir entre series matemáticas convergentes y divergentes a través de ejemplos concretos.
Aplicar la definición de series de Taylor para encontrar la representación de una función elemental, como \(\cos(x)\).
Identificar y plantear problemas que se resuelven con integrales dobles y triples.
Argumentar la elección de un sistema de coordenadas (cartesiano, polar, cilíndrico o esférico) para simplificar la resolución de una integral múltiple.

1. Cinco Series Convergentes

1.1 Serie \(p\) con \(p=2\)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

Planteamiento: Serie-\(p\) con \(p=2 > 1\) → converge.

Interpretación: Los términos decrecen suficientemente rápido (cuadrático) para que las sumas parciales se estabilicen.

1.2 Serie Geométrica (\(r = \frac{1}{2}\))

\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n

Planteamiento: \( |r| = \frac{1}{2} < 1 \) → converge. Suma = \( \frac{1}{1 - 1/2} = 2 \).

1.3 Serie \(p\) con \(p = 3\)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}

Planteamiento: \(p = 3 > 1\) → converge.

1.4 Serie Alternada (Leibniz)

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}

Planteamiento: \(b_n = 1/n\) es decreciente y \(\lim b_n = 0\) → converge (condicionalmente).

1.5 Serie Telescópica

\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)

Planteamiento: Suma parcial \(S_k = 1 - \frac{1}{k+1} \to 1\). Converge a 1.

2. Cinco Series Divergentes

2.1 Serie Armónica (\(p = 1\))

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Planteamiento: Serie-\(p\) con \(p = 1 \leq 1\) → diverge.

2.2 Término no tiende a cero

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n}

Planteamiento: \(\lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{n} = 1 \ne 0\) → diverge.

2.3 Serie Geométrica (\(r = 2\))

\sum_{n=0}^{\infty} 2^n

Planteamiento: \(|r| = 2 \geq 1\) → diverge.

2.4 Serie con términos oscilantes no nulos

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n

Planteamiento: \(\lim a_n\) no existe (oscila entre -1 y 1) → diverge.

2.5 Términos crecientes

\sum_{n=1}^{\infty} n

Planteamiento: \(a_n \to \infty\) → diverge.

3. Serie de Maclaurin de \(\cos(x)\)

La serie de Maclaurin es un caso especial de la serie de Taylor centrada en \(a = 0\):

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

3.1 Derivadas en 0

\(f(x) = \cos(x) \Rightarrow f(0) = 1\)
\(f'(x) = -\sin(x) \Rightarrow f'(0) = 0\)
\(f''(x) = -\cos(x) \Rightarrow f''(0) = -1\)
\(f'''(x) = \sin(x) \Rightarrow f'''(0) = 0\)
\(f^{(4)}(x) = \cos(x) \Rightarrow f^{(4)}(0) = 1\)

3.2 Sustitución y forma final

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}

3.3 Radio de convergencia

El radio de convergencia es \(R = \infty\) (converge para todo \(x \in \mathbb{R}\)).

3.4 Aproximaciones polinomiales

Orden 0: \(1\)
Orden 2: \(1 - \frac{x^2}{2}\)
Orden 4: \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\)
Orden 6: \(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720}\)

4. Problemas con Integrales Múltiples

Volumen bajo \(z = 1 - x^2 - y^2\) sobre disco unidad

Reconocimiento: región es un disco → coordenadas polares.

Formulación: \(V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr \, d\theta\)

Resolución: \(V = \frac{\pi}{2}\)

Interpretación: volumen bajo un paraboloide truncado.

Masa de lámina con densidad \(\rho = r\) en disco de radio \(R\)

Reconocimiento: densidad radial → polares.

Formulación: \(M = \int_0^{2\pi} \int_0^R r \cdot r \, dr \, d\theta\)

Resolución: \(M = \frac{2\pi R^3}{3}\)

Interpretación: la masa se escala con \(R^3\); mayor contribución del borde.

Momento de inercia de placa rectangular

Reconocimiento: placa delgada, coordenadas cartesianas.

Formulación: \(I = \int_0^a \int_0^b y^2 \, dy \, dx\)

Resolución: \(I = \frac{ab^3}{3}\)

Volumen de semiesfera de radio \(a\)

Reconocimiento: simetría esférica → cilíndricas.

Formulación: \(V = \int_0^{2\pi} \int_0^a \int_0^{\sqrt{a^2 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta\)

Resolución: \(V = \frac{2\pi a^3}{3}\)

Teorema de la cáscara (Shell Theorem)

Reconocimiento: campo gravitacional de esfera homogénea.

Resultado: para \(r \geq R\), \(g(r) = \frac{GM}{r^2}\)

Interpretación: la esfera se comporta como una masa puntual externamente.

Conclusión

El desarrollo de este taller ha permitido reforzar la importancia del planteamiento y reconocimiento de problemas en el cálculo avanzado.

En el ámbito de las series, se ha demostrado que criterios simples (como el de la razón, el término \(n\)-ésimo o la serie-\(p\)) son suficientes para determinar la naturaleza (convergencia o divergencia) de una amplia gama de sumas infinitas. La derivación de la serie de Maclaurin para \(\cos(x)\) ilustra cómo funciones trascendentes complejas pueden ser aproximadas con precisión por polinomios infinitos, un pilar del análisis numérico y la física teórica.

En el campo de las integrales múltiples, se ha comprobado que la elección del sistema de coordenadas no es trivial, sino una decisión estratégica que define la complejidad del problema. Las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas simplifican drásticamente el cálculo de áreas, volúmenes, centros de masa y momentos de inercia en problemas con simetría circular, cilíndrica o esférica, respectivamente. La correcta aplicación de las tres etapas (planteamiento, resolución e interpretación) permite no solo obtener un resultado numérico, sino también comprender su significado físico o geométrico.

Referencias Bibliográficas (APA 7)

Lumen Learning. (s.f.). The p-Series and Estimating Series Value.
Wikipedia. (s.f.). Alternating series test (criterio de Leibniz).
Mathematics LibreTexts. (s.f.). Double integrals in polar coordinates.
UBC Blogs. (s.f.). Series de Taylor y Maclaurin.
Wikipedia. (s.f.). Shell theorem (teorema de la cáscara).